문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 전자기파 방사 (문단 편집) == 뒤처진 퍼텐셜 전개 == 이 문단서 부터는 임의의 原이 방사하는 전자기파를 알아보게 된다. 분석에 들어가기 앞서 다음과 같은 가정을 할 것이다. * 原이 점유하는 영역에 비해 관측점은 매우 작고, 멀리 떨어져있다. 즉, 운동 중의 전하를 이제부터 고려할 것이기 때문에 이들의 속도는 광속에 비해 매우 작아야 한다. 그렇지 않으면, 방사장이 관측점에 도달하면 분포는 더 이상 작거나 멀다라고 할 수 없다. 이 경우는 "점전하 방사"에서 다루게 된다. * 임의의 原이 방사하는 전자기파는 가장 우세한 항을 제외하고는 무시할 수 있다. 이 말을 다른 말로 표현하면, 쌍극자 이상의 근사는 사용하지 않는다는 뜻이며, 이것은 분석의 용이성을 위함이다.[* 물론 쌍극자 근사로만으로는 설명을 할 수 없는 경우도 있다. 그런 경우엔 쌍극자 이상의 다중극 근사를 이용해야 할 것이나, 그런 경우는 여기서 다루지 않는다.] 원점 부근에 위치한 어따한 原을 고려하자. 이때, 原은 [math(V)]의 영역을 점유하고 있다. 뒤처진 스칼라 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다. ||<:>[math(\begin{aligned} \Phi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} } \iiint_{V} \frac{\rho(\mathbf{r'},\,t_{r})}{|\mathbf{r-r'}|}\,{\rm d}V' \end{aligned})]|| 이때, [math(r' \ll r)]이므로 ||<:>[math(\begin{aligned} |\mathbf{r-r'}| & \simeq r-\frac{\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r'}}{r} \\\ \frac{1}{|\mathbf{r-r'}|} &\simeq \frac{1}{r} \!\left( 1+\frac{\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r'}}{r^{2}} \right) \end{aligned})]|| 로 전개 가능하다. 한편, ||<:>[math(\begin{aligned} t_{r}&=t-\frac{|\mathbf{r-r'}|}{c} \\& \simeq t-\frac{r}{c}+ \frac{\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{r'}}{cr} \end{aligned})]|| 이므로 원점에서의 지연 시각을 ||<:>[math(\begin{aligned} t_{0} \equiv t-\frac{r}{c} \end{aligned})]|| 로 정의하면 지연 시각은 ||<:>[math(\begin{aligned} t_{r}&=t_{0}+\frac{\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{r'}}{cr} \end{aligned})]|| 으로 쓸 수 있다. 따라서 전하 밀도를 다음과 같이 전개할 수 있다. ||<:>[math(\begin{aligned} \rho(\mathbf{r'},\,t_{r}) \simeq \rho(\mathbf{r'},\,t_{0})+\dot{\rho}(\mathbf{r'},\,t_{0}) \cdot \frac{\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r'}}{cr} \end{aligned})]|| [math(r')]의 2차항부터는 쓰지 않았고, [math(\dot{\rho}=\partial \rho /\partial t)]를 나타낸다. 따라서 뒤처진 스칼라 퍼텐셜은 ||<:>[math(\begin{aligned} \Phi&=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \iiint_{V} \left[\rho(\mathbf{r'},\,t_{0})+\dot{\rho}(\mathbf{r'},\,t_{0}) \cdot \frac{\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r'}}{cr} \right]\left[\frac{1}{r} \!\left( 1+\frac{\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r'}}{r^{2}} \right) \right]\,{\rm d}V' \\&\simeq \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{r} \left[\iiint_{V} \rho(\mathbf{r'},\,t_{0}),\,{\rm d}V'+\iiint_{V} \rho(\mathbf{r'},\,t_{0})\cdot \frac{\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r'}}{r^{2}}\,{\rm d}V'+\iiint_{V}\dot{\rho}(\mathbf{r'},\,t_{0}) \cdot \frac{\mathbf{r}\, \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r'}}{cr}\,{\rm d}V \right] \\ &=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\frac{1}{r}\left[\iiint_{V} \rho(\mathbf{r'},\,t_{0}),\,{\rm d}V'+\frac{\mathbf{r}}{r^2}\boldsymbol{\cdot}\iiint_{V} \mathbf{r'}\rho(\mathbf{r'},\,t_{0})\,{\rm d}V'+\frac{\mathbf{r}}{cr}\boldsymbol{\cdot}\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\iiint_{V}\mathbf{r'}{\rho}(\mathbf{r'},\,t_{0})\, {\rm d}V \right]\end{aligned})]|| 의 형태로 써진다. [math(r')]의 2차항 부터는 고려하지 않았다. 이때, 제 1항에 포함된 적분은 곧 [math(t=t_{0})]일 때, [math(V)] 영역 내의 전하를 뜻하며, 이것을 [math(Q)]로 하자. 이때, 전하 보존에 따라 [math(Q)]는 시간에 의존하지 않는다. 제 2항, 3항에 포함된 적분은 곧 [math(t=t_{0})]일 때 [[전기 쌍극자 모멘트]]를 뜻한다. 따라서 구하는 스칼라 퍼텐셜은 다음과 같다. ||<:>[math(\begin{aligned} \Phi= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{Q}{r}+\frac{\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p}}{r^{3}}+\frac{\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{p} }}{cr^{2}} \right] \end{aligned})]|| 로 구해진다. 이때, 제 1항은 곧 정적인 영역의 홀극자의 퍼텐셜이며, 제 2항은 정적인 영역의 쌍극자의 퍼텐셜이다. 여기까지는 정전기학에서 퍼텐셜의 다중극 전개를 했을 때의 결과와 같으나, 原의 전하 밀도가 시간에 의존할 때는 제 3항이 붙게된다. 두 번째로 뒤처진 벡터 퍼텐셜을 구하자. ||<:>[math(\begin{aligned} \mathbf{A}&=\frac{\mu_{0}}{4 \pi } \iiint_{V} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r'},\,t_{r})}{|\mathbf{r-r'}|}\,{\rm d}V' \\ &=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} c^{2} } \iiint_{V} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r'},\,t_{r})}{|\mathbf{r-r'}|}\,{\rm d}V' \qquad (\because \varepsilon_{0}\mu_{0}=c^{-2}) \end{aligned})]|| 이 또한 전개를 통해 ||<:>[math(\begin{aligned} \mathbf{A} \simeq \Phi\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} }\frac{1}{c^{2}r} \iiint_{V} \mathbf{J}(\mathbf{r'},\,t_{0})\,{\rm d}V' \end{aligned})]|| 그런데, 우변의 적분은 [math(\mathbf{\dot{p}})]이다. {{{#!folding [증명] ----- 전류 밀도 [math(\mathbf{J})]가 부피 영역 [math(V)] 안에 있는 경우를 고려하자. [math(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} (x\mathbf{J}) )]를 고려하면, ||<:>[math(\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} (x\mathbf{J})&=\frac{\partial}{\partial x_{i}} (xJ_{i}) \\&=J_{x}+x\frac{\partial J_{i}}{\partial x_{i} } \\&=\mathbf{\hat{x}}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}+x (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}) \end{aligned})]|| 따라서 다음이 성립한다. ||<:>[math(\begin{aligned} \iiint_{V} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} (x\mathbf{J})\,{\rm d}V=\iiint_{V} \mathbf{\hat{x}}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}\,{\rm d}V+\iiint_{V} x (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}) \,{\rm d}V\end{aligned})]|| 좌변은 [[발산 정리]]를 사용하여 ||<:>[math(\begin{aligned} \oiint_{S} x\mathbf{J}\boldsymbol{\cdot}d\mathbf{a}=\iiint_{V} \mathbf{\hat{x}}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}\,{\rm d}V+\iiint_{V} x (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}) \,{\rm d}V\end{aligned})]|| 이것을 [math(y)], [math(z)]에 대해서도 한 후 벡터로 묶으면 ||<:>[math(\begin{aligned} \oiint_{S}\mathbf{r} \mathbf{J}\boldsymbol{\cdot}d\mathbf{a}=\iiint_{V} \mathbf{J}\,{\rm d}V+\iiint_{V} \mathbf{r}(\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}) \,{\rm d}V\end{aligned})]|| [math(\mathbf{J})]가 [math(V)] 내에 있다고 했으므로 좌변은 0이 된다. ||<:>[math(\begin{aligned} \iiint_{V} \mathbf{J}\,{\rm d}V=-\iiint_{V} \mathbf{r} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}) \,{\rm d}V\end{aligned})]|| 한편, 연속 방정식 ||<:>[math(\begin{aligned} \frac{\partial \rho}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{J}=0 \end{aligned})]|| 이 성립하므로 ||<:>[math(\begin{aligned} \iiint_{V} \mathbf{J}\,{\rm d}V &=\iiint_{V} \mathbf{r} \frac{\partial \rho}{\partial t} \,{\rm d}V \\&=\frac{\rm d}{{\rm d}t}\iiint_{V} \mathbf{r} \rho \,{\rm d}V \\&=\mathbf{\dot{p}} \end{aligned})]|| 따라서 다음이 성립한다. ||<:>[math(\begin{aligned} \iiint_{V} \mathbf{J}\,{\rm d}V &=\mathbf{\dot{p}} \end{aligned})]|| ------ }}} [math(\mathbf{p})] 자체에 [math(r')]의 1차항이 포함되어 있으므로 벡터 퍼텐셜의 추가적인 항의 고려는 하지 않아도 된다. 이상에서 ||<:>[math(\begin{aligned} \mathbf{A} &= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} }\frac{\mathbf{\dot{p} }}{c^{2}r} \\&=\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{\mathbf{\dot{p} }}{r} \end{aligned})]|| 이제 장을 구해볼 것이다. 그런데 우리의 목적은 방사장을 구하는 것이므로 [math(r^{-1})]에 비례하는 장을 구하는 것이 목표임에 유의한다. 장을 구하기 전에 ||<:>[math(\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}t_{0}&= \boldsymbol{\nabla} \biggl(t-\frac{r}{c} \biggr) \\&=-\frac{\mathbf{\hat{r} }}{c} \end{aligned})]|| 임을 밝혀둔다. 우선 자기장부터 구하자. 자기장은 벡터 퍼텐셜의 회전을 취하면 된다. 편의상 상수를 무시하면 ||<:>[math(\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times \biggl( \frac{\mathbf{\dot{p} }}{r} \biggr)= \boldsymbol{\nabla} \biggl( \frac{1}{r} \biggr) \times \mathbf{\dot{p}}+\frac{\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{\dot{p} }}{r} \end{aligned})]|| 그런데 우변의 제 1항은 [math(r^{-2})]이 포함되기 때문에 방사장으로는 적합하지 않아 제외한다. ||<:>[math(\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{\dot{p} }&=\varepsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_{j}} \dot{p}_{k} \\&=\varepsilon_{ijk}\frac{\partial t_{0}}{\partial x_{j}} \ddot{p}_{k} \\&=\boldsymbol{\nabla}t_{0} \times \mathbf{\ddot{p}} \\&=-\frac{\mathbf{\hat{r} }}{c} \times \mathbf{\ddot{p}} \end{aligned})]|| 이 과정에서 [[연쇄 법칙]]이 사용되었다. 이상에서 방사 자기장은 ||<:>[math(\begin{aligned} \mathbf{B}&= -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} }\frac{\mathbf{\hat{r} } \times \mathbf{\ddot{p} }}{c^{3}r} \\&=-\frac{\mu_{0}}{4\pi c} \frac{\mathbf{\hat{r} } \times \mathbf{\ddot{p} }}{r} \end{aligned})]|| 전기장을 구하려면 우선 스칼라 퍼텐셜의 그레이디언트를 구해야만 한다. 방사장의 특성상 기여하는 장은 제 3항의 그레이디언트 연산으로부터 나온다. 따라서 다음을 계산해야 한다. ||<:>[math(\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \biggl( \frac{\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{p} }}{r^{2}} \biggr)=\boldsymbol{\nabla} \biggl( \frac{1}{r^{2}} \biggr)(\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{p} })+\frac{\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{p} })}{r^{2}} \end{aligned})]|| 이때, 우변의 제 1항은 [math(r^{-1})]에 비례하는 장으로 기여하지 않으므로 제외한다. 제 2항의 계산에선 ||<:>[math(\begin{aligned} -\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{p}})&=-\frac{\partial }{\partial x_{i}}(x_{j}\dot{p}_{j}) \\&=-\delta_{ij}\dot{p}_{j}-x_{j} \ddot{p}_{j} \frac{\partial t_{0}}{\partial x_{i}} \\ &=-\mathbf{\dot{p}}-\boldsymbol{\nabla}t_{0}(\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{\ddot{p}}) \\&=-\mathbf{\dot{p}}+\frac{r\mathbf{\hat{r}} (\mathbf{\hat{r}} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{\ddot{p}})}{c}\end{aligned})]|| 인데, 마찬가지의 이유로 우변의 제 1항은 제외한다. 따라서 ||<:>[math(\begin{aligned} -\boldsymbol{\nabla} \Phi \simeq \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}c^2} \frac{\mathbf{\hat{r}} (\mathbf{\hat{r}} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{\ddot{p}})}{r} \end{aligned})]|| 또, 벡터 퍼텐셜의 시간 미분은 ||<:>[math(\begin{aligned} -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}c^2 }\frac{\mathbf{\ddot{p} }}{r} \end{aligned})]|| 이상에서 전기장은 이 둘의 합이므로 ||<:>[math(\begin{aligned}\mathbf{E}= \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}c^2 } \frac{\mathbf{\hat{r}} (\mathbf{\hat{r}} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{\ddot{p}})-\mathbf{\ddot{p} }}{r} \end{aligned})]|| 이상에서 구해진 방사장과 관련된 퍼텐셜과 장을 정리하면 아래와 같다. ||<:>[math(\begin{aligned} \Phi&=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\frac{\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\dot{p} }}{cr^{2}} \\ \mathbf{A}&=\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{\mathbf{\dot{p} }}{r} \\ \\ \mathbf{E}&=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}c^2 } \frac{\mathbf{\hat{r}} (\mathbf{\hat{r}} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{\ddot{p}})-\mathbf{\ddot{p} }}{r} \\\mathbf{B}&=-\frac{\mu_{0}}{4\pi c} \frac{\mathbf{\hat{r} } \times \mathbf{\ddot{p} }}{r} \end{aligned})]|| 이때 쌍극자는 [math(t_{0})]에서 측정된 것임에 유의한다. 한편, 벡터 항등식 [math(\mathbf{\hat{r}} \times (\mathbf{\hat{r} } \times \mathbf{\ddot{p} })=\mathbf{\hat{r}}(\mathbf{\hat{r}} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{\ddot{p}})-\mathbf{\ddot{p}} )]임을 이용하면 ||<:>[math(\begin{aligned} \mathbf{E}=-c\mathbf{\mathbf{\hat{r} }} \times \mathbf{B} \end{aligned})]|| 따라서 방사장은 광속으로 [math(\mathbf{\hat{r}})]방향으로 전파된다는 사실을 알 수 있다. 따로 증명치는 않으나 ||<:>[math(\begin{aligned} \mathbf{B}=\frac{\mathbf{\mathbf{\hat{r} }} }{c} \times \mathbf{E} \end{aligned})]|| 또한 성립한다. 따라서 포인팅 벡터는 ||<:>[math(\begin{aligned} \mathbf{S}&=\mathbf{E}\times \frac{\mathbf{B}}{\mu_{0}} \\&=-\frac{1}{\mu_{0} } (c\mathbf{\mathbf{\hat{r} }}\times \mathbf{B}) \times \mathbf{B} \\ &=\frac{c}{\mu_{0}} [B^2\mathbf{\hat{r}}-\mathbf{B}(\mathbf{B} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{r}}) ] \\&=\frac{cB^2}{\mu_{0}}\mathbf{\hat{r}}\\&=\frac{\mu_{0}}{16\pi^{2}cr^2} \mathbf{\hat{r}}|\mathbf{\hat{r}}\times \mathbf{\ddot{p}}|^{2} \end{aligned} )]|| 이제 [math(\mathbf{p})]가 [math(\mathbf{\hat{z}})]방향일 때를 고려해 보자. 이 때, 포인팅 벡터는 ||<:>[math(\displaystyle \mathbf{S}=\frac{ |{\mathbf{\ddot{p} } }|^{2} \sin^{2}{\theta}}{16 \pi^{2} \varepsilon_{0} c^{3}r^{2}} \mathbf{\hat{r}} )] || 이고, 반지름 [math(r)]인 구면에 전자기파가 행한 일률은 다음으로 구할 수 있다. ||<:>[math(\displaystyle P=\frac{|{\mathbf{\ddot{p} } }|^{2}}{6 \pi \varepsilon_{0} c^{3}} )] || 마지막에 유도되었던 전자기파 일률은 운동하는 점전하에 대해서도 적용할 수 있다. 다만, 가정은 계속해서 전하의 운동들이 광속에 비해 매우 작다는 것에 유의하여야 한다. 점전하에 대한 쌍극자 모멘트는 ||<:>[math(\displaystyle \mathbf{p}=q\mathbf{r'} )] || 따라서 ||<:>[math(\displaystyle \mathbf{\ddot{p}}=q\frac{{\rm d}^{2}\mathbf{r'}}{{\rm d}t^{2}}=q\mathbf{a} )] || [math(\mathbf{a})]는 점전하의 가속도이다. 따라서 이 경우의 전자기파가 구면에 행한 일률은 ||<:>[math(\displaystyle P=\frac{q^{2}a^{2}}{6 \pi \varepsilon_{0} c^{3}} )] || 따라서 일률은 전하의 가속도 제곱에 비례한다. 위의 공식을 '''라모 공식(Larmor formula)'''이라 한다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기